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申请/专利权人：大连理工大学

摘要：一种联合随机激励下桥梁非线性随机振动分析方法。该方法基于概率守恒原理，推导了联合随机激励下多自由系统的概率密度积分方程，刻画了系统的随机性传播。引入概率剖分和狄拉克函数光滑化技术，得到了联合随机激励下多自由系统的直接概率积分法，用以求解概率密度积分方程，以得到系统响应的概率密度函数。对于多自由度系统，本方法基于狄拉克函数的定义实现了概率密度方程的解耦，以实现结构随机响应的高效求解。此外，引入等效极值映射，基于直接概率积分法求解系统的动力可靠度。

主权项：1.一种联合随机激励下桥梁非线性随机振动分析方法，其特征在于以下步骤：1基于概率守恒原理，建立联合随机激励下多自由系统的概率密度积分方程，刻画系统不确定性的传播过程；包括：对联合随机激励作用分情况讨论，得到联合随机激励下多自由度系统的概率概率守恒原理公式；引入狄拉克函数，基于概率概率守恒原理公式，推导得到联合随机激励下多自由度系统的概率密度积分方程；对多自由度系统的概率密度积分方程进行了降维处理，给出系统任意单个响应的概率密度积分方程；2采用直接概率积分法求解概率密度积分方程，以得到结构响应的概率密度函数；包括：基于概率空间剖分技术和狄拉克函数光滑化技术，得到联合随机激励下多自由度系统的直接概率积分法；基于直接概率积分法，实现了概率密度积分方程的数值求解过程，得到系统响应的概率密度函数；针对不同的激励作用情况，给出了不同的直接概率积分法计算公式；3结合等效极值映射，进一步将直接概率积分方法用于求解结构的动力靠度；包括：基于等效极值映射和概率密度积分方程，构建了基于Heaviside函数的求解联合随机激励下多自由度系统的动力靠度计算公式；每个步骤具体如下：步骤1：假定随机系统的随机输入向量和随机输出向量分别为Θ和Y，系统的随机因素全来源于Θ，则概率守恒原理公式为： 式中pYy,t和pY0y,t0表示了响应y分别在t和t0时刻的概率密度函数，ΩY,0和ΩY是向量Y和Y0的相应的总概率密度空间，pΘθ是输入随机向量Θ的概率密度函数，ΩΘ为输入随机向量Θ总概率密度空间；对于联合随机激励，考虑高斯白噪声激励和泊松白噪声激励联合作用下桥梁结构的随机振动分析；假定在t0,t]时间内有两种情况发生，即：1仅高斯白噪声激励发生；2高斯白噪声和泊松白噪声激励同时发生；对于第一种情况其概率守恒原理表示为： 对于第二种情况则概率守恒原理表示为： 综上得联合随机激励下系统的概率守恒原理公式为： 令初始时刻t0＝0，则等式4进一步表示为： 假定等式5中的随机性传播从初始向量Θ1和ΘH到输出向量Y的传播通过下述的确定性映射表示： 假定函数f和h是单调的，可逆的；则进一步将等式5变化为： 式中和为Jacobi矩阵；将狄拉克函数引入等式7，得到了联合随机激励下多自由系统的概率密度积分方程： 等式8以积分的形式刻画了系统在状态演化过程中不确定性的传播规律；其可以用于向量Y的联合概率密度函数求解；应用狄拉克函数的性质及对等式8进行边缘概率密度积分，实现了概率密度积分方程的降维处理，给出多自由度系统下任意响应概率密度积分方程： 步骤2：等式9中存在关于概率空间Θ1和ΘH高维狄拉克函数积分；其关键技术为1概率空间剖分；2对狄拉克函数光滑化处理，进而得到等式9的数值计算公式： 式中和分别为概率空间和的第q个代表点，N为总的代表点个数，和分别为代表点和附得概率，和为代表点和相应的动力响应，σ1和σ2为狄拉克函数光滑化参数；光滑化参数由一个自适应的基于核函数的公式得到，即: 式中Q是一个0,1]之间的调试因子，iqr[·]为响应的四分位差；在实际工程中，高斯白噪声和泊松白噪声通常是同时出现作为外部激励的，对于该情况，在数值计算过程中，仅需考虑步骤1中的情况2，即高斯白噪声和泊松白噪声激励同时发生的情况，采用如下的计算公式: 根据实际工程要求，选择公式10或公式12作为响应概率密度函数的直接概率积分法计算公式；具体的直接概率积分法数值计算步骤为：采用基于GF偏差的两步选点法进行概率空间剖分，得到代表点及相应的附得概率基于数值积分方法，求解代表点的动力响应；将代表点附得概率和动力响应代入公式10或公式12，得到响应yl在t时刻的概率密度函数；步骤3：对于联合随机激励下多自由度系统的首次超越动力靠度，引入等效极值映射得到功能函数Zt进行求解；令:Θ→Yext,i.e.,则功能函数Zt表示为： 式中B为动力靠度的阈值，lθ,t为系统的动力响应函数；相应的首次超越动力靠度计算公式为： 定义Zt的概率密度函数为pzz,t，则等式14表示为： 式中pzz,t由概率密度积分方程求得，即 式中mθ,t和nθ,t定义了考虑联合随机激励时两种不同情况下系统动态响应的等效极值映射函数；将等式16代入等式15得到基于概率密度积分方程的动力靠度求解公式 由于狄拉克函数积分为Heaviside函数则等式17变为 由于等式18中已将狄拉克函数替代为Heaviside函数，故无需进行光滑化处理；因此，通过引入概率空间剖分技术，即得到基于直接概率积分法的系统动力靠度求解公式 若仅需考虑高斯白噪声和泊松白噪声激励同时发生的情况，则采用如下的计算公式： 根据实际工程要求，来选择公式19或公式20作为动力靠度的直接概率积分法计算公式；具体的基于直接概率积分法的动力靠度数值计算步骤如下：基于两步选点法对初始概率空间进行剖分，得到代表点和相应的附得概率；求解系统的动力响应，并基于等效极值映射和阈值B得到系统的功能函数；将代表点附得概率和相应的功能函数值代入公式19或公式20，即可得到系统的动力可靠度。

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