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申请/专利权人：北京大学;北京大学重庆大数据研究院

摘要：本申请公开了一种基于内蕴混合有限元法求解线弹性力学问题的快速方法。其中，该方法包括：获取单元数据、材料参数、边界条件；依据单元数据、材料参数、边界条件确定线性代数方程组；获取线性代数方程组的初始解向量；利用线性代数方程组中的系数矩阵、载荷向量以及初始解向量，调用预条件算法对线性代数方程组进行迭代求解，得到解向量；利用解向量确定线性代数方程组的应力解和位移解。本申请解决了相关迭代法求解线弹性力学问题时迭代次数多且收敛速度较慢的技术问题。

主权项：1.一种基于内蕴混合有限元法求解线弹性力学问题的快速方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件，其中，单元数据包括：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，材料参数包括：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度，边界条件包括：体力、应力约束、位移约束；步骤S2，依据步骤S1得到的单元数据、材料参数、边界条件确定线性代数方程组Ax=b，其中，A表示系数矩阵、b表示载荷向量；步骤S3，获取线性代数方程组Ax=b的初始解向量；步骤S4，利用线性代数方程组Ax=b中的系数矩阵A、载荷向量b以及初始解向量，调用预条件算法对线性代数方程组Ax=b进行迭代求解，得到解向量x；步骤S5，利用解向量x确定线性代数方程组Ax=b的应力解和位移解；其中，所述步骤S4包括如下步骤：步骤S41，获取预条件算子M、重启次数m、迭代终止误差tol，其中，m为正整数；步骤S42，基于线性代数方程组Ax=b中的系数矩阵A、载荷向量b以及初始解向量，并通过如下公式计算残差向量r：；步骤S43，调用预条件算子M，并通过如下公式更新残差向量r：；步骤S44，通过如下公式计算更新后的残差向量r的2范数：并基于残差向量r和其2范数，通过如下公式定义第一Krylov向量，并令j=1：；步骤S45，基于预条件算子M、Krylov向量和系数矩阵A，并通过如下公式计算第一辅助向量w：，并在i循环等于时，通过如下公式计算Hessenberg矩阵的第位置处的矩阵元素：再通过如下公式更新第一辅助向量w：以及通过如下公式计算和：、；步骤S46，判断j是否小于重启次数m，若是，则令j=j+1并继续执行步骤S45；否则，利用最小二乘法通过如下公式计算第二辅助向量：，其中，表示第一个元素为1，其余元素为0的m维向量，并获取Krylov向量空间，结合第二辅助向量、初始解向量，通过如下公式更新近似解：；步骤S47，判断近似解是否满足迭代终止条件，其中，迭代终止条件包括以下至少之一：、；步骤S48，在近似解满足迭代终止条件的情况下，直接将近似解作为解向量x；步骤S49，在近似解不满足迭代终止条件的情况下，令，并继续执行步骤S42至步骤S47；其中，所述步骤S43包括如下步骤：步骤S431，基于步骤S24得到的当前单元的内蕴混合有限元基函数的整体自由度将残差向量r分解为应力残差向量和位移残差向量，并将系数矩阵A分解为由应力自由度决定的能量矩阵E和由应力自由度和位移自由度共同决定的散度算子矩阵B；步骤S432，确定能量矩阵E的对角元矩阵D，基于对角元矩阵D、应力残差向量，并通过如下公式计算第一解向量：；步骤S433，基于散度算子矩阵B、第一解向量、位移残差向量，并通过如下公式更新位移残差向量：；步骤S434，基于散度算子矩阵B、对角元矩阵D，并通过如下公式计算近似Schur补矩阵：；步骤S435，基于近似Schur补矩阵、更新后的位移残差向量，并通过如下公式计算第二解向量：；步骤S436，基于第二解向量、散度算子矩阵B、对角元矩阵D和第一解向量x1，并通过如下公式对步骤S432得到的第一解向量x1进行更新：，以及基于第二解向量，并通过如下公式对步骤S435得到的第二解向量进行更新：；437，基于步骤S24得到的当前单元的内蕴混合有限元基函数的整体自由度将步骤S436得到的更新后的第一解向量和第二解向量进行组装，得到更新后的残差向量r；其中，所述步骤S435还可以包括如下步骤：步骤S4351，基于近似Schur补矩阵、第二解向量和位移残差向量，并调用磨光算法R通过如下公式对第二解向量进行更新：；步骤S4352，依据单元数据分别确定当前单元的k-1阶间断拉格朗日空间向线性位移空间的插值算子，并将插值算子转换为矩阵形式，得到插值矩阵，再基于插值矩阵确定线性位移空间向k-1阶间断拉格朗日空间的延拓矩阵P；步骤S4353，基于延拓矩阵P、近似Schur补矩阵，并通过如下公式计算线性位移空间内的近似Schur补矩阵的近似矩阵：；步骤S4354，计算近似矩阵的逆矩阵，基于逆矩阵、第二解向量、延拓矩阵P和位移残差向量，并通过如下公式对步骤S4351得到的第二解向量进行更新：；步骤S4355，调用磨光算法R，并通过如下公式对步骤S4354得到的第二解向量进行更新：。

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