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申请/专利权人：西安理工大学

摘要：本发明公开了一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，首先初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；以理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；然后使用牛顿迭代法对近似模方程根进一步修正；判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回，若满足预设精度，则输出修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根。本发明保证较高模方程根求解精度和可靠性的同时，拥有更高的求解效率。

主权项：1.一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：步骤1、初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；所述步骤1具体如下：将模方程根tn初始化为0，设地层的相对介电常数为εr，电导率σ1；电离层的参考高度H，梯度系数β，电离层的离地高度范围Hmin～Hmax，Hmin为电离层的下边界离地面的高度，Hmax为电离层的上边界离地面的高度，电离层的分层层数m，电离层入射角θ′；VLF电波的频率f，传播波数k；地球半径a；未进行牛顿迭代修正前的理想情况下的模方程根需要满足的预设精度Eps1，进行牛顿迭代修正后理想情况和实际的地层和电离层情况下模方程根需要满足的预设精度Eps2；步骤2：求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；所述步骤2具体如下：步骤2.1、透地一定深度的地层作为波导结构的下边界，被看作是纵向均匀且具有等效电参量而横向变化的分段均匀媒质，等效电参量为：介电常数ε1和大地等效电导率σ1，则地面的归一化表面阻抗Δg为 其中，i为虚数单位，ε0为真空中的介电常数，ε1＝ε0εr，ω为VLF电波的角频率；步骤2.2、电离层由部分被离化的气体包括电子、离子和中性分子组成，当不考虑地磁场的影响时，看作是非磁化各向同性连续媒质，其中，电离层的碰撞频率ν和电子密度N变化是影响电离层的电特性的两个关键参量，电离层的碰撞频率ν随离地高度z的分布函数νz为νz＝1.82×1011e-0.15z2电离层的电子密度N随离地高度z的分布函数Nz为Nz＝1.43×107e-0.15He[β-0.15z-H]3式中，H为电离层参考高度，单位为km；β为梯度系数，单位为1km，则电离层的复介电常数表示为 其中，e为电子电量，me为电子质量，记 其中，磁导率μ认为与真空中相同，即μ＝μ0，μ0为真空中的磁导率；对于VLF电波，将电离层分为m层，每层厚度记为hm，第m+1层的表面阻抗Zm+1为 其中，k0为空气中的传播波数，η0为空气中的波阻抗，第m层的表面阻抗Zm到第1层的表面阻抗Z1的递推公式为 其中， zm为第m层离地面的距离，zm+1为第m+1层离地面的距离，假设电离层的等效归一化表面阻抗不随入射角方向而变，将电离层入射角θ′统一取为80°，因此，根据式7计算出第一层的表面阻抗Z1；步骤2.3、在电离层参考高度H处，上行波与下行波之比Rv0为 其中，fer0为电离层参考高度H处的反射系数，z0为电离层参考高度H距电离层下边界的距离，电离层下边界处的反射系数fer-z0为 所以，电离层在参考高度H处的等效归一化表面阻抗Δi为 步骤2.4、假设信号源为一个垂直电偶极子Idl，位于地-电离层波导中，忽略地球磁场的影响，根据上下阻抗边界条件，推导得到VLF电波的模方程为AtnBtn＝113其中， q＝ika213Δg，qi＝ika213Δi，y0＝2ka13kH15W1和W2为Airy函数，k为传播波数，tn为第n阶模式的VLF电波的模方程根；步骤2.5、理想情况下，地面完全导电Δg＝0，电离层完全导磁Δi＝∞，则模方程式13化简为 又因理想情况下VLF电波在地-电离层波导中传播没有损耗，衰减率为0，所以Airy函数W1和W2表示为W1tn＝utn-ivtn,W2tn＝utn+ivtn17其中，tn为实数时，Airy函数W1和W2的实部utn和虚部vtn都为实数，所以式16写为 令 步骤2.6、求得式19中曲线ftn和gtn的交点，得到理想情况下的模方程根：将y0＝2ka13kH代入式19，并设置tn的范围，求出精度小于等于预设精度Eps1的交点步骤2.7、以为迭代结束的条件，利用牛顿迭代法进行修正，从而得到理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根步骤3：以步骤2求出的理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；所述步骤3具体如下：令p＝1qi，则将tn看作q和p的函数tnq,p，则由式13得到tnq,p的方程： 分别对式20两端q和p求导，并根据Airy函数的性质和伏龙斯基公式化简，得到q满足的微分方程f1q,tn和p满足的微分方程f2p,tn： 将0～q等分为Nq段，每段长度即步长为h1＝qNq，将0～p等分为Np段，每段长度即步长为h2＝pNp，令 根据改进欧拉法的理论及式21和22，分别得到关于q和p的公式： 则根据式23和式24，采用粗步长h1和h2，以理想情况下的为初值进行迭代，得到实际阻抗边界条件下，即实际的地层和电离层情况下的近似模方程根t′n；步骤4：使用牛顿迭代法对步骤3求出的近似模方程根进一步修正；所述步骤4具体如下：以所述步骤3得到的近似模方程根t′n为初值，利用牛顿迭代法进行修正，即令Qtn＝AtnBtn-1＝025则Qtn在t′n的某领域内展开成泰勒级数： 取式26的线性部分即式26的前两项作为非线性方程25的近似方程，即Ptn＝Qt′n+Q′t′ntn-t′n＝027由此得到模方程根的牛顿迭代形式： 其中，则根据式28对近似模方程根进行修正，得到修正后的近似模方程根步骤5：判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回步骤4，若满足预设精度，则输出步骤4修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根；所述步骤5具体如下：令 判断所述步骤4修正后的模方程根是否满足式29的结果小于预设精度Eps2，若未满足，则返回步骤4，若满足，则输出模方程根并结束，输出的结果即为实际的地层和电离层情况下的模方程根tn。

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