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申请/专利权人：华中科技大学;武汉华中数控股份有限公司

摘要：本发明公开了一种基于改进的SVD‑Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，该算法包括如下步骤：基于动力学方程建立数控机床进给系统的状态空间方程模型；获得原始系统状态空间矩阵，原始系统和传递函数模型；设定降阶系统阶次，启动多点矩匹配SVD‑Krylov算法进行降阶；输出降阶系统状态空间矩阵，降阶系统及相应降阶传递函数模型；采用正交实验方法和时间响应法进行降阶算法仿真验证。提出的降阶建模算法降阶后的模型能够保证渐近稳定，计算效率高，同时采用迭代算法，成倍增加了矩匹配数量，提高了降阶精度。本发明在降阶精度，计算效率方面有明显提高，大大加快了数控机床进给系统的建模与仿真速度。

主权项：一种基于改进的SVD‑Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，包括如下步骤：1建立机床进给系统状态空间模型：基于动力学方程为建模对象的数控机床伺服系统建立其对应的传递函数模型Gs，并将该传递函数模型Gs进一步分解为包含矩阵A,B,C的状态空间方程,相应的获得原始系统状态空间参数：原始系统状态空间矩阵{A,B,C}、原始系统和传递函数模型的表达式：CsIn‑A‑1B，传递函数模型Gs为如下形式：Gs=XLsm*s=0s3+1s2+2s+30s7+1s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7;]]0=hKppKspKtKL2JmJL1=hKLKppKtJLKsi+BLKsp2JmJL23=hKLKppKtBLKsi+KLKsp2JmJL23=hKppKsiKtKL22JmJL2;]]其中：A∈Rn×n,B∈Rn×1,C∈R1×n，R为实数集，s表示拉氏变换因子，n为原始系统阶次，In表示n阶单位矩阵；设定降阶系统阶次为q，其中qn,Gs表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数，s表示拉氏变换因子，β0～β3、α0～a7分别表示所述参数建模中Gs的各个多项式系数，XL为工作台位移，为系统输入的指令角位移，BL为机械部分等效阻尼系数，JL为机械部分等效转动惯量，Jm为电机转子转动惯量，KL为折算到丝杠上的机械部分等效扭转刚度，h为丝杠的导程，η为丝杠的传动效率，μv为粘滞摩擦系数，Kt为电机转矩系数，Kpp为位置环增益，Ksp为速度环增益，Ksi为速度环积分常数；2执行机床进给系统状态空间模型的降阶处理：首先，用步骤1中获得的原始系统状态空间矩阵{A,B,C}构建如下方程：ATQ+QA+CCT＝0；接着，为上述方程选择对应的迭代子空间和有理Krylov子空间；然后针对上述两个子空间执行迭代处理，得到相应的正交矩阵Q和V，并相应计算得出对应的变换矩阵Z＝QVVTQV‑1，以此使得前2q阶输出矩实现精确匹配，相应获得降阶处理后的降阶系统状态空间参数：降阶系统状态空间矩阵{Aq Bq Cq}、降阶系统及相应的降阶传递函数模型Gqs＝CqsIq‑Aq‑1Bq，其中Iq表示q阶单位矩阵；由此实现数控机床进给系统的建模和降阶，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。

全文数据：一种基于改进的SVD-KryIον算法的数控机床进给系统建模方法技术领域[0001]本发明属于大型复杂机电系统模型建模降阶领域，更具体地，涉及一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法。背景技术[0002]对数控机床进给系统进行动力学建模与仿真是直观并且有效掌握其内部特性的分析手段，然而机电系统涉及机械、电气、控制等多领域，致使系统非常复杂，状态变量很多，阶次很高。采用数控机床进给系统的初始系统模型直接进行建模与仿真相对困难或数值模拟非常耗时，效率低下，有时甚至难以为继。在这样的背景下，为了降低大型复杂系统的理论分析难度，提高建模速度和仿真效率，亟需对初始系统模型的阶数进行有效的降阶处理，从而使大型复杂机电系统在计算机和工程实际中易于实现。[0003]现有的模型降阶算法主要有三类:基于SVDSingularValueDecomposition，基于Krylov矩匹配和基于SVD-Krylov的模型降阶算法。基于SVD的模型降阶算法具有良好的理论性质，降阶系统能够保持初始系统的结构特性，且容易得到降阶系统与初始系统之间的误差关系，然而需要求解两个Lyapunov方程，计算成本高达km3，所需的存储量达k2n2其中ki、k2为与Lyapunov方程相关的特征系数），故无法适应大规模系统降阶n1000，但是此算法得到的降阶系统无法保证系统稳定性，也很难求出降阶误差界;基于SVD-Krylov算法结合了前两种算法的优点，一方面利用SVD良好的理论特性如稳定性和全局误差界，另一方面利用Krylov子空间法高效的数值计算能力，从而获得数值计算过程稳定高效，理论特性良好，近似误差足够小的降阶算法，然而进一步的研究表明，其仍然存在以下缺陷：1降阶精度方面:其采用单点矩匹配原理，矩匹配数量有限，只能匹配与降阶次数相当的矩，降阶精度差；2计算效率方面：SVD-Krylov算法中需求解Lyapunov方程，虽然相比于SVD降阶算法计算量大大降低了，但仍然不是最佳结果;3算法性能方面:在SVD-KryIov算法中插值点的选择是一个随机过程，而算法的收敛速度过度依赖初始插值点的选择，这将造成算法的不稳定性。发明内容[0004]针对现有技术的上述缺点和或改进需求，本发明提供了一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其中根据数控机床进给系统自身的特点，相应设计了多点矩匹配SVD-Krylov降阶建模算法，其通过将多点矩匹配原理与SVD-Krylov算法相结合，实现矩匹配数量增加，使得输出矩误差最小，相应地能够提高降阶精度，因而尤其适用于数控机床进给系统的降阶建模等场合。[0005]为实现上述目的，本发明提出了一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，包括如下步骤：[0006]1建立机床进给系统状态空间模型:基于动力学方程为建模对象的数控机床伺服系统建立其对应的传递函数模型Gs，并将该传递函数模型Gs进一步分解为包含矩阵A，B，C的状态空间方程，相应的获得原始系统状态空间参数:原始系统状态空间矩阵{A，B，C}、原始系统和传递函数模型的表达式:CSln-Ar1B,其中R1Xn，R为实数集，s表示拉氏变换因子，η为原始系统阶次，In表示η阶单位矩阵;设定降阶系统阶次为q，其中q〈n;[0007]2执行机床进给系统状态空间模型的降阶处理:首先，用步骤（1中获得的原始系统状态空间矩阵{A，B，C}构建如下方程:ATQ+QA+CCT=0;接着，为上述方程选择对应的迭代子空间和有理Krylov子空间；然后针对上述两个子空间执行迭代处理，得到相应的正交矩阵Q和V，并相应计算得出对应的变换矩阵Z=QVVtQV'以此使得前2q阶输出矩实现精确匹配，相应获得降阶处理后的降阶系统状态空间参数：降阶系统状态空间矩阵{AqBqCq}、降阶系统及相应的降阶传递函数模型Gqs=CqSlq-AqIq,其中Iq表示q阶单位矩阵；由此实现数控机床进给系统的建模和降阶，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。[0008]作为进一步优选地，所述步骤⑴中建立的传递函数模型Gs优选为如下形式：[0009][0010][0011][0012]其中：Gs表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数，s表示拉氏变换因子，〜β3、α〇〜a7分别表不所述参数建模中Gs的各个多项式系数，Xl为工作台位移，q。[0064]2-2初始化:选择频率扩展点和相应的频率扩展点对应的矩匹配的序列J=…，^;初始残差RoS1=S1I-A+1B和PoSl=CS1I-A+1以及残差范娄库中II·IIf表示F范数。[0065]2-3迭代:设定j=l，".，q，定义RhSi=SiI-HPHSi=CSiI-A—j，设置^e根据相应的最大矩阵误差选择j，然后设置j不变，再根据选择第j步迭代频率扩展点H十算点5G处双正交向量：相应残差范数戈由上一步得到残差和’采用重启机制确定频率扩展点的迭代次数，如果'=~有81=Sli-A—Vg,j，PjSi=qg,jSiI-A—S否则RjSi=Rj—ISi，PjSi=Pj—ISi，循环迭代得到Vq=[Vg,lVg,2…Vg,q]和Qq—[Qg,IQg,2···Qg,q]。[0066]2-4输出：采用QR分解产生正实双正交矩阵V=realVq=[ViV2…Vq]和Q=realQq=[qiq2…qq]；[0067]⑶所述TRGAA算法能够精确匹配前2q阶输出矩，采用正交最小二乘法将剩余的高阶矩即未能精确匹配的矩以最小二乘的形式与原模型输出矩执行拟合处理，以进一步优化建模结果；[0068]⑷降阶验证及误差分析[0069]基于正交实验设计原理，采用时间响应仿真实验验证模型降阶算法的有效性和可靠性，误差分析主要是根据相应曲线分析初始系统与降阶系统之间的出范数误差在此选择出范数误差作为衡量降阶精度的指标，在相同的输入信号下单位阶跃函数、单位斜坡函数和正弦函数等），得到初始模型时间响应曲线和降阶模型时间响应曲线以及初始系统与降阶系统之间出范数误差时间响应曲线，图2为本发明中模型降阶算法实验验证原理图，信号输入模块中包含输入所需信号单位阶跃函数、单位斜坡函数和正弦函数等，输入相同的仿真信号，分别对初始模型和降阶模型进行时间响应仿真，输出初始模型响应曲线和降阶模型响应曲线，进一步得到初始系统与降阶系统之间H2范数误差时间响应曲线，根据图2所述降阶验证方案进行仿真实验，采用正交实验方法，验证降阶算法的有效性和可靠性。[0070]下面对矩匹配原理进行说明，考虑η维SISOSingleInputSingleOutput:单输入单输出线性系统：[0071][0072]其中，xter为状态向量，U⑴GR为输入量，y⑴eR为输出量，AeRnXn，BeRnxl，CeRlxn为系统的系数矩阵。[0073]通过拉氏变换得到Xs=sI-A-1B和Ys=CXs，这里假定（Sl-A非奇异，对Xs=sI-A，在频率扩展点Sl其中31为非极点处进行泰勒展开：[0074][0075]定义Φ=_sI-A―1ξ=si-A—1B,Φi=_SiI-A―1Ii=SiI-A—1B,则有，称为Si处的第j阶系统矩，其中Φi·3=-SiI-AI;[0076]进一步计算，为Si处的第j阶输出矩，在此处传递函数Gs=YS=CfeI-Ar1B;[0077]输出矩为[0078]采用多点矩匹配算法，能够准确匹配前2q阶输出矩，即降阶后的传递函数模型的前2q阶输出矩与原传递函数模型相应的前2q阶输出矩相等，BP[0079]结合算法说明匹配过程，由TRGAA算法得到的双正交矩阵V=[VIV2…Vq]和Q=[qiq2…qq]，同时有向量·正交；[0085]如果j彡2q_2,则存在0彡m彡q，0彡k彡q_l，由上式有由如果j=2q_l，有[0086]所以有即有初始系统S和降阶系统Sq的矩满足：即降阶系统能够精确匹配2q个矩。[0087]本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

权利要求：I.一种基于改进的SVD-KryIov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，包括如下步骤：1建立机床进给系统状态空间模型：基于动力学方程为建模对象的数控机床伺服系统建立其对应的传递函数模型Gs，并将该传递函数模型Gs进一步分解为包含矩阵A，Β，C的状态空间方程，相应的获得原始系统状态空间参数:原始系统状态空间矩阵{A，B，C}、原始系统和传递函数模型的表达式:CfeIn-AK1B,传递函数模型Gs为如下形式：其中:AeRnx'BeRnxi，CeRix'R为实数集，S表示拉氏变换因子，n为原始系统阶次，In表示η阶单位矩阵;设定降阶系统阶次为q，其中q〈n，Gs表示对该数控机床进给系统所建立的S域内的传递函数，s表不拉氏变换因子，〜β3、α〇〜a7分别表不所述参数建模中Gs的各个多项式系数，Χί为工作台位移，ί为系统输入的指令角位移，为机械部分等效阻尼系数，Jl为机械部分等效转动惯量，1为电机转子转动惯量，Kl为折算到丝杠上的机械部分等效扭转刚度，h为丝杠的导程，Tl为丝杠的传动效率，μν为粘滞摩擦系数，Kt为电机转矩系数，Kpp为位置环增益，Ksp为速度环增益，Ksi为速度环积分常数；2执行机床进给系统状态空间模型的降阶处理:首先，用步骤（1中获得的原始系统状态空间矩阵{A，B，C}构建如下方程:ATQ+QA+CCT=O;接着，为上述方程选择对应的迭代子空间和有理Krylov子空间；然后针对上述两个子空间执行迭代处理，得到相应的正交矩阵Q和V，并相应计算得出对应的变换矩阵Z=QVVtQVK1,以此使得前2q阶输出矩实现精确匹配，相应获得降阶处理后的降阶系统状态空间参数:降阶系统状态空间矩阵{AqBqCq}、降阶系统及相应的降阶传递函数模型Gqs=CqSlq-Aqr1Bq,其中Iq表示q阶单位矩阵；由此实现数控机床进给系统的建模和降阶，进而完成数控机床进给系统的动力学建模过程。2.如权利要求1所述的一种基于改进的SVD-KryIov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤1中将所述传递函数模型Gs进一步分解为状态空间方程的形式如下：转化为如下形式：其中：3.如权利要求1或2所述的一种基于改进的SVD-Krylov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤2中的所述迭代处理的具体步骤如下：2-1输入:输入原始系统状态空间矩阵{A，B，C}，频率扩展点左,···、^，降阶系统阶次q;2-2初始化:选择频率扩展点和相应的频率扩展点对应的矩匹配的序列、初始残差RoSi=SiIn-AK1B和PoSi=CSiI-AK1以及残差范数2-3迭代:设定j=1，…，q，定义RhSi=SiI-A—jB，PhSi=CSiI-A—j;然后设置，根据相应的最大矩阵误差选择j，设置j不变，再根据选择第j步迭代频率扩展点~;;在点％处产生双正交向量「，残差范数5更新残差夂和忍4，循环迭代直至得到双正交矩阵Vq=[Vg,lVg,2…Vg,q]和Qq=[qg,lqg,2…qg,q];2-4输出：采用QR矩阵分解法产生正实双正交矩阵V=[V1V2…vq]和Q=[qiq2…Qq]〇4.如权利要求3所述的一种基于改进的SVD-KryIov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤⑵之后还包括步骤3，其具体过程如下:将降阶系统的输出矩中除了前2q阶之外的其余高阶矩采用正交最小二乘的方式与初始进给系统的输出矩执行拟合处理，以进一步优化建模结果。5.如权利要求4所述的一种基于改进的SVD-KryIov算法的数控机床进给系统建模方法，其特征在于，所述步骤3之后还包括步骤4:降阶验证及误差分析，基于正交实验设计原理，采用时间响应仿真实验验证模型降阶算法的有效性和可靠性;误差分析根据相应曲线分析原始系统与降阶系统之间的出范数误差，所述H2范数误差越小，降阶精度越1¾D

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