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申请/专利权人：南京理工大学

摘要：本发明公开了一种基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，在热力学理论和柔耦合动力学理论的基础上建立了考虑热效应的一次近似刚柔耦合动力学模型，在此模型下进行动力学响应的仿真。此外，本发明利用MATLAB建立图形用户界面，使得本领域内技术人员在进行动力学响应研究的过程中能够更加简单地修改不同参数进行研究，其响应结果也能够更加直观的展现在图形用户界面中。

主权项：1.一种基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，其特征在于包括以下步骤：1对于中心刚体-柔性FGM薄板Hub-FGMPlate系统，设定FGM薄板的几何参数、材料参数以及温度参数；2采用混合坐标法在浮动坐标系中描述Hub-FGMPlate系统的大范围旋转运动；3采用假设模态法对FGM薄板在大范围旋转运动下产生的变形进行离散；4由第二类拉格朗日方程建立Hub-FGMPlate系统的刚-柔耦合动力学方程，其中，在系统的弹性势能中计入热应变，从而得到FGM薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；5调用MATLAB内嵌ode45函数求解动力学方程，求解得到FGM薄板外侧角点变形值；6输出FGM薄板自由端角点变形随时间变化示意图；步骤2中所述的大范围旋转运动描述中，坐标系O-XYZ为惯性坐标系，o-xyz为连体坐标系，o-xyz坐标系三个方向的单位矢量分别为a1、a2、a3；板的长度为a，宽度为b，厚度为h，密度ρz，弹性模型为Ez，热膨胀系数为αz，热传导系数为Kz，z为厚度方向坐标，泊松比为μ；变形前板中面上一点P0变形后至P点，P0在连体坐标系下坐标为x，y，变形位移矢量为uu1，u2，u3，P点在惯性基下的速度矢量Vp表示为VP＝Vo+ωA×ρ0+u+VPA1式中，Vo、ωA分别为连体坐标系相对于惯性坐标系的速度、角速度矢量，ρ0为点P0在连体坐标系中位置矢量，u为P0在连体坐标系中的变形矢量，VPA为P点相对连体坐标系的速度矢量，各矢量在连体坐标系的分量分别为Vo＝[v1,v2,v3]T，ωA＝[ω1,ω2,ω3]T，ρ0＝[x,y]T，u＝[u1,u2,u3]T，最后得到速度矢量Vp在连体坐标系的分量为： 薄板上任意一点的变形位移表示为 式中，w1和w2分别为P0沿x方向和y方向的面内伸长量，wc1和wc2分别为横向弯曲变形引起的沿x方向和y方向的面内缩短量；步骤4中所述的动力学方程省略由横向变形引起的纵向缩短量wc1和wc2相关的高阶项；设柔性薄板绕y轴作定轴转动，浮动坐标系的基点o点加速度为零，则有 仅考虑柔性薄板的横向振动时，步骤4中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为： 式中M33＝W339 K33＝Kf33-ω2W33+ω2D1111 D11＝∫∫∫Vρz·x·H1dV13 S13＝∫∫∫Vρz·x·φ3dV16 以上各式中φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；ΔTz为某点处相对参考温度T0的温度差；大范围旋转运动规律为： 式中t为时间，Ω为均匀转速运动角速度，T＝30s。

全文数据：基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法技术领域[0001]本发明属于多体系统动力学建模领域，具体是一种基于MATLAB的旋转功能梯度材料FunctionalGradientMaterials，FGM薄板刚柔親合动力学建模方法。背景技术[0002]MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件，基于MTLAB对多体系统进行动力学建模并计算和分析系统的动力学响应被学者们广泛的应用。[0003]功能梯度材料是性能在几何空间上连续变化的非均质材料，比传统材料更能够满足高温、高载等极端条件，在航天航空领域具有广泛的应用前景。热环境对航空发动机部件的影响已经引起了工程界的高度重视，因此结合功能梯度材料建立考虑热效应和相应结构耦合的动力学模型十分有必要。[0004]方建士在《旋转薄板的一种高次动力学模型与频率转向》一文中对中心刚体-柔性薄板结构建立了既适用于小变形问题也适用于大变形问题的高次耦合动力学模型，并对其频率转向特性进行了研究，但是他的研究为考虑不同材料以及高温的实际工况。Li在《Freevibrationanalysisofrotatingfunctionallygradedrectangularplates〉〉文中提出了一种比以往文献中所用方法精度更高且考虑大范围运动的功能梯度板动力学模型，并且研究了频率转向和模态耦合的现象，在他的研究没有涉及到多物理场的耦合问题。发明内容[0005]本发明以多体系统动力学与热力学为理论基础，提供了一种基于MATLAB的动力学建模的方法，目的在于分析温度场中作大范围转动功能梯度薄板的刚柔耦合动力学响应。[0006]实现本发明目的的技术解决方案为:该方法包括以下步骤：[0007]1设定算例几何参数、材料参数以及环境参数；[0008]2在浮动坐标系中描述系统的运动；[0009]3采用假设模态法对变形进行离散；[0010]4由第二类拉格朗日方程建立动力学方程，其中，在系统的弹性势能中计及热应变，从而得到功能梯度薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；[0011]5调用ode45函数求解动力学方程；[0012]⑹输出动力学响应数据进行进一步分析。[0013]系统作大范围转动时，将定轴转动角速度ω规律设为：[0015]式中T=30s。[0016]假设功能梯度材料参数按体积含量的幂指数分布，假设如下[0020]式中V为体积分数[0022]以上各式中，h为功能梯度板厚度，N为体积分数指数，pc、pm*别表示陶瓷组分和金属组分的密度，E。、Em分别表不陶瓷组分和金属组分的杨氏模量，a。、am分别表不陶瓷组分和金属组分的热膨胀系数。[0023]步骤⑶中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：[0025]式中[0035]以上各式中Φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；[0038]式中，To为参考温度，Tc、Tm分别为陶瓷和金属材料界面处温度，Kc、Km分别表示陶瓷组分和金属组分的热传导系数，[0040]本发明与现有技术相比，其显著优点：（I、本发明基于MATLAB建立图形用户界面GUI从而使得本技术领域内的技术人员在进行研究时能够更加方便的更改参数设置以及更加直观的获取温度场中做大范围转动功能梯度薄板末端角点变形示意图。（2、在刚-柔耦合动力学理论的基础上建立了考虑热效应的刚柔耦合动力学模型，在此模型下进行动力学响应的仿真。（3、本发明针对具有热应力缓和作用的功能梯度材料，为工程应用提供了一定的指导作用。附图说明[0041]图1是中心刚体-FGM柔性薄板模型的图。[0042]图2是打开simulation.fig文件的图。[0043]图3是⑶I界面的图。[0044]图4是参数初始化的图。[0045]图5是实施例旋转功能梯度薄板末端角点变形曲线的图。[0046]图6是初始化界面并修改温度参数的图。[0047]图7是修改温度参数后转功能梯度薄板末端角点变形曲线的图。具体实施方式[0048]下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步介绍。[0049]本发明基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，包括以下步骤：[0050]1对如图Ia所示的中心刚体-柔性FGM薄板Hub-FGMPlate系统，设定FGM薄板的几何参数，材料参数以及温度参数；[0051]2用混合坐标法在浮动坐标系中描述Hub-FGMPlate系统的大范围旋转运动；[0052]3采用假设模态法对FGM薄板在大范围旋转运动下产生的变形进行离散；[0053]4由第二类拉格朗日方程建立Hub-FGMPlate系统的刚-柔耦合动力学方程。其中，在系统的弹性势能中计入热应变，从而得到FGM薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；[0054]5调用MATLAB内嵌ode45函数求解动力学方程，求解得到FGM薄板外侧角点变形值；[0055]⑹输出FGM薄板自由端角点变形随时间变化示意图。[0056]所述步骤1中几何参数分别为FGM薄板的长a、宽b以及厚度h;材料参数分别为密度PZ，弹性模型为EZ，热膨胀系数为αζ，热传导系数为KZ，分别如下：[0060]式中z为厚度方向坐标，Ec、pc、ac和Kc分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数，E。、P。、a。和K。分别为金属组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数;V为体积分数[0062]上式中，N为体积分数指数。[0063]温度参数为沿厚度方向呈梯度分布的温度场TZ和某点处相对参考温度To的温度差ATZ，分别如下：[0066]式中，T。、!》*别为陶瓷和金属材料界面处温度。[0068]所述步骤⑵中的大范围旋转运动描述如图1⑹中，坐标系O-XYZ为惯性坐标系，ο-xyz为连体坐标系，ο-xyz坐标系三个方向的单位矢量分别为31、32、33。板的长度为3，宽度为b，厚度为h，密度PZ，弹性模型为EZ，热膨胀系数为CtZ，热传导系数为KZ，泊松比为μ。变形前板中面上一点Po在连体坐标系下坐标为X，y变形后至P点，变形位移矢量为Um，u2，u3J点在惯性基下的速度矢量Vt^表示为[0070]式中，V。、ωΑ分别为连体坐标系相对于惯性坐标系的速度、角速度矢量。Po为点P0在连体坐标系中位置矢量，u为Po在连体坐标系中的变形矢量，Vpa为P点相对连体坐标系的速度矢量。各矢量在连体坐标系的分量分别为V。=[vi，V2，V3]T，ωΑ=[Co1,ω2,ω3]τ，ρ〇=[x，y]T，u=[ui，U2，u3]T，，最后可得速度矢量Vp在连体坐标系的分量为：[0072]薄板上任意一点的变形位移可表示为[0074]式中，WdPw2分别为Po沿X方向和y方向的面内伸长量，Wc^Pwc2分别为横向弯曲变形引起的沿X方向和y方向的面内缩短量。[0075]所述步骤⑶中采用假设模态法对变形场进行离散，W1、W2、u3分别可表示为[0077]式中分别为薄板纵向振动和横向振动的模态函数的行矢量分别为纵向振动和横向振动的模态坐标列矢量，NhN^N3分别为对应的模态截断数。为了方便起见，下述的表达式中将略去自变量x，y，t。[0078]将式⑷代入到式⑶，得变形位移及其速度为[0081]式中，H1x，y、H2x，y为耦合变形量，下标中“，”表示对坐标求偏导。[0082]所述步骤⑷中动力学方程省略由横向变形引起的纵向缩短量相关的高阶项，如以及等等。[0083]假设柔性薄板绕y轴作定轴转动，浮动坐标系的基点〇点加速度为零，则有[0085]仅考虑柔性薄板的横向振动时，步骤4中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：[0087]式中[0097]以上各式中Φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；[0098]大范围旋转运动规律为：[0100]式中t为时间，Ω为均匀转速运动角速度，T=30s。[0101]本发明实施例公开了一种基于MATALB计算温度场中旋转功能梯度薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，具体如下：[0102]1本实施例中功能梯度薄板采用如表1中几何参数以及材料参数，取体积分数指数N=1，模态截断数m=4，n=2，旋转角速度ω=5rads，陶瓷和金属材料界面处温度Tc=IOK，Tm=OK，并将上述各参数设定为默认值。[0103]表1本实施例采用功能梯度薄板几何参数及材料参数表[0104][0105]⑵按照图2打开simulation.fig文件后GUI界面如图3所示；[0106]⑶点击初始化按钮，如图4所示；[0107]4点击运行按钮，等待一定运算时间后，温度场中旋转功能梯度薄板末端角点变形如图5坐标内曲线所示；[0108]5点击初始化按钮如图6所示；[0109]6在陶瓷界面温度Tc框内修改温度大小为10K，重复步骤4则可得到不同温度场中旋转功能梯度薄板末端角点变形曲线如图7所示。图中，纵坐标为功能梯度薄板末端角点变形值，横坐标为时间，随着时间的增加，功能梯度薄板末端角点变形值发生改变，并伴随着一定的振荡现象，这种现象是由温度所引起的。改变功能梯度薄板上下表面温度，即Tc和T。，振荡效果也不一样。[0110]本发明基于前人的研究，考虑了在高温高速运转的实际工况，基于MATLAB对中心刚体-功能梯度薄板Hub-FGMPlate系统进行了动力学计算，并输出了该系统板末端角点变形随时间变化的示意图，以便科技人员的研究与应用。

权利要求：1.一种基于MATLAB计算FGM薄板刚柔耦合动力学响应的仿真方法，其特征在于包括以下步骤：⑴对于中心刚体-柔性FGM薄板Hub-FGMPlate系统，设定FGM薄板的几何参数、材料参数以及温度参数；⑵采用混合坐标法在浮动坐标系中描述Hub-FGMPlate系统的大范围旋转运动；⑶采用假设模态法对FGM薄板在大范围旋转运动下产生的变形进行离散；4由第二类拉格朗日方程建立Hub-FGMPlate系统的刚-柔耦合动力学方程，其中，在系统的弹性势能中计入热应变，从而得到FGM薄板考虑热效应的刚柔耦合动力学方程；⑸调用MATLAB内嵌ode45函数求解动力学方程，求解得到FGM薄板外侧角点变形值；⑹输出FGM薄板自由端角点变形随时间变化示意图。2.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于:步骤⑴中所述的几何参数分别为FGM薄板的长a、宽b以及厚度h;材料参数分别为密度Pz、弹性模型为Ez、热膨胀系数为az和热传导系数为KZ，分别如下：式中ζ为厚度方向坐标，匕^。、〇。和1。分别为陶瓷组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数，E。、P。、α。和K。分别为金属组分的杨氏模量、密度、热膨胀系数和热传导系数;V为体积分数上式中，N为体积分数指数；温度参数为沿厚度方向呈梯度分布的温度场Tζ和某点处相对参考温度To的温度差ΔTZ，分别如下：式中，Τ。、!^*别为陶瓷和金属材料界面处温度；3.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于:步骤2中所述的大范围旋转运动描述中，坐标系O-XYZ为惯性坐标系，ο-xyz为连体坐标系，ο-xyz坐标系三个方向的单位矢量分别为ai、a2、a3;板的长度为a，宽度为b，厚度为h，密度Pz，弹性模型为Ez，热膨胀系数为aZ，热传导系数为KZ，泊松比为μ;变形前板中面上一点Po变形后至P点，Po在连体坐标系下坐标为〇[，7，变形位移矢量为11111，112，113，？点在惯性基下的速度矢量％表示为式中，V。、ωA分别为连体坐标系相对于惯性坐标系的速度、角速度矢量，Po为点Po在连体坐标系中位置矢量，u为Po在连体坐标系中的变形矢量，Vpa为P点相对连体坐标系的速度矢量，各矢量在连体坐标系的分量分别爻，最后得到速度矢量％在连体坐标系的分量为：薄板上任意一点的变形位移表示为式中，Wi和W2分别为Po沿X方向和y方向的面内伸长量，Wci和Wd分别为横向弯曲变形引起的沿X方向和y方向的面内缩短量。4.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于:步骤3中所述的采用假设模态法对变形场进行离散，W1、W2、u3分别表示为式中分别为薄板纵向振动和横向振动的模态函数的行矢量，分别为纵向振动和横向振动的模态坐标列矢量，Ni、N2、N3分别为对应的模态截断数；将式⑷代入到式3，得变形位移及其速度为式中，HiX，y、H2X，y为耦合变形量，下标中“，”表示对坐标求偏导。5.根据权利要求1所述的仿真方法，其特征在于:步骤4中所述的动力学方程省略由横向变形引起的纵向缩短量Wd和we相关的高阶项；设柔性薄板绕y轴作定轴转动，浮动坐标系的基点〇点加速度为零，则有仅考虑柔性薄板的横向振动时，步骤4中在温度场内旋转功能梯度薄板的动力学方程为：以上各式中Φ3为模态函数，下标“，”表示对某个变量求偏导数；大范围旋转运动规律为：式中t为时间，Ω为均匀转速运动角速度，T=30s。

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