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申请/专利权人：南京理工大学

摘要：本发明公开了一种中心刚体‑FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法。运用弧长坐标来描述柔性FGM梁的几何位移关系，分别使用倾角和拉伸应变变量描述柔性梁的横向弯曲、纵向拉伸变形及剪切角；采用假设模态法离散变形场，运用第二类拉格朗日方程进行方程推导，得到中心刚体‑FGM楔形梁系统的刚柔耦合动力学模型；运用C++编写FGM梁末端响应计算程序，通过读入中心刚体‑FGM楔形梁系统几何参数、功能梯度参数、材料组成等参数，得出梁系统末端响应随大范围转动时间的变化值。采用本发明方法，计算精度、效率较高。

主权项：1.一种中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于包括以下步骤：1设定中心刚体-FGM楔形梁系统相关参数：中心刚体转动惯量、楔形梁几何尺寸、FGM梁组成材料组成、功能梯度指数，并给出大范围运动角速度规律；2选用弧长坐标对中心刚体-FGM楔形梁系统进行建模，运用几何关系描述中心刚体-FGM楔形梁系统的变形场，得出梁末端位移表达式；取中心刚体-FGM楔形梁系统的一段微元进行分析，得出柔性梁系统在大范围转动下的动能和势能表达式；柔性梁系统的动能表达式为： 式中，Joh为中心刚体转动惯量，θ0为中心刚体角位移，ρs为柔性梁沿轴向密度函数，As为柔性梁沿轴向横截面积函数，x0、y0为梁轴线上一点处坐标分量，γs,t为弧长坐标s处横截面的剪切角；柔性梁系统的势能表达式为： 3式中，Es为柔性梁沿轴向弹性模量函数，Gs为柔性梁沿轴向剪切模量函数，k为剪切修正系数；4运用假设模态法对每段微元的横向弯曲角、纵向拉伸量及剪切角进行离散，并将动能与势能带入第二类Lagrange方程，并将方程中二次以上项舍去，得到中心刚体-柔性梁系统的刚柔耦合动力学方程；5针对中心刚体-FGM楔形梁系统，运用梁高比Rh，梁宽比Rb描述楔形梁几何形状；运用梁悬臂端与自由端材料参数及功能梯度参数描述FGM梁材料组成；6根据步骤4中动力学方程和步骤5给定的参数，得出FGM楔形梁末端横向变形及轴向变形随时间变化规律数据。

全文数据：中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法技术领域[0001]本发明属于多体系统动力学领域，具体地说，是一种中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法。背景技术[0002]针对做大范围运动的中心刚体-柔性梁系统的动力学响应问题，选择合适的坐标系建立精确的动力学模型，并在完整模型的基础上进行简化，在满足计算精度的情况下，得到计算效率较高的动力学模型，成为求解这类动力学问题的关键所在。[0003]Librescu首次建立了中心刚体-FGM梁模型，并在此基础上对这一模型进行了振动分析。2005年，Librescu在以往建模方法的基础上，对圆柱薄壁梁在大范围运动下的动力学特性做出了研究。2012年，张伟将高阶剪切理论运用在建模过程中，考虑到离心力的作用，建立了旋转运动下FGM板的动力学方程。黎亮首次提出了倾角坐标，基于细长梁假设，对FGM梁系统在大范围运动下的动力学问题进行了研究。目前已有的工作主要是运用传统的直角坐标系计算柔性梁的动力学问题，计算效率较为低下，选用合理的建模方法，建立满足计算精度，计算效率较高的模型，成为这类问题研究中的重点。发明内容[0004]本发明的目的是，针对大范围旋转运动下中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应问题，提供一种数值仿真的计算方法，将FGM楔形梁几何参数、功能梯度参数、材料组成分别进行设置，得到FGM楔形梁的末端横向变形与轴向变形。[0005]实现本发明目的地技术解决方案为:一种中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，包括以下步骤：[0006]1设定中心刚体-FGM楔形梁系统相关参数：中心刚体转动惯量、楔形梁几何尺寸、FGM梁组成材料组成、功能梯度指数，并给出大范围运动角速度规律；[0007]2选用弧长坐标中心刚体-FGM楔形梁系统进行建模，运用几何关系描述中心刚体-FGM楔形梁系统的变形场，得出柔性梁末端位移表达式；[0008]3取中心刚体-FGM楔形梁系统的一段微元进行分析，写出柔性梁系统在大范围转动下的动能和势能表达式；[0009]4运用假设模态法对每段微元的横向弯曲角、纵向拉伸量及剪切角进行离散，并将动能与势能带入第二类Lagrange方程，并将方程中二次以上项舍去，得到中心刚体-柔性梁系统的刚柔耦合动力学方程；[0010]⑸针对中心刚体-FGM楔形梁系统，运用梁高比Rh，梁宽比Rb描述楔形梁几何形状；运用梁悬臂端与自由端材料参数及功能梯度参数描述FGM梁材料组成；[0011]⑹根据步骤⑷中动力学方程和步骤⑸给定的参数，得出FGM楔形梁末端横向变形及轴向变形随时间变化规律数据。[0012]步骤⑴中，大范围运动角速度规律为：[0014]式中，ω为转动角速度，ωQ为初始转动角速度，T为大范围转动计算时长；[0015]步骤⑵中，柔性梁末端位移表达式为：[0017]式中，u⑴为柔性梁末端轴向变形，V⑴为柔性梁末端横向变形，as，t为弧长坐标s处横截面的弯曲角度，εs，t为弧长坐标s处轴向拉伸量，1为柔性梁长度。[0018]步骤⑶中，柔性梁系统的动能表达式为：[0020]式中，Jcih为中心刚体转动惯量，θ〇为中心刚体角位移，ps为柔性梁沿轴向密度函数，AS为柔性梁沿轴向横截面积函数，XQ、y〇为梁轴线上一点处坐标分量，γs，t为弧长坐标s处横截面的剪切角。[0021]柔性梁势能表达式为：[0023]式中，Es为柔性梁沿轴向弹性模量函数，Gs为柔性梁沿轴向剪切模量函数，k为剪切修正系数。[0024]步骤4中，采用假设模态法对柔性梁的变形进行描述，将倾角、纵向拉伸量、剪切角进行离散处理：[0026]其中，Φ,s为一端固支一端自由杆试函数行向量，At、B⑴、Ct为与时间相关项列向量。将上式带入第二类Lagrange方程，并舍去部分高阶项，得到非惯性系下中心刚体-柔性梁系统的动力学方程：[0028]式中各项分别为：[0038]步骤5中梁高比Rh，梁宽比Rb的取值范围分别为0彡Rh彡I，0彡Rb彡I，材料参数分别需设定梁固定端及自由端材料密度与弹性模量。[0039]步骤⑹中中心刚体-FGM楔形梁系统需设置的参数分别为:柔性梁长度、悬臂端截面积及惯性矩、梁高比及梁宽比、中心刚体转动惯量、悬臂端及固定端材料密度与弹性模量、功能梯度指数。[0040]本发明与现有技术相比，其显著优点为：[0041]1在建模过程中，采用倾角坐标，可通过描述梁中轴线上点的位置，对柔性梁的变形问题进行描述，在建模过程中较传统的坐标系更加方便简洁；[0042]2在公式推导中，基于Timoshenko梁假设，考虑到了横向弯曲、轴向拉伸及剪切效应;计算精度较高；[0043]3在计算末端响应时，在满足精度的前提下，省略了部分高阶项，计算效率较高；[0044]4FGM楔形梁参数设置时，可对中心刚体转动惯量、几何尺寸、材料组成、功能梯度参数等进行设置，可运用于多种形式的FGM楔形梁。附图说明[0045]图1是柔性梁变形示意图。[0046]图2是FGM楔形梁几何尺寸示意图。[0047]图3是文件“0.txt”数据。[0048]图4是C++程序运彳丁过程。[0049]图5是计算完成输出文件“V.txt”及“u.txt”。[0050]图6是本发明方法的实现流程图。具体实施方式[0051]下面结合实施例及附图对本发明进行进一步介绍。[0052]实例：一种中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，如图6所示，该方法包括以下步骤：[0053]1设定旋转速度规律：[0055]2设定中心刚体-FGM梁系统的相关参数，悬臂端材料为错，自由端材料为陶瓷。具体数值在表1中给出。[0056]表1中心刚体-FGM梁系统的几何参数[0058]表2中心刚体-FGM梁系统的材料参数[0060]⑶在文件“0.txt”中输入数据，如图3所示；[0061]4编写C++程序求解动力学方程4，运行程序并读入文件“0.txt”中数据，计算过程如图4所示；[0062]5程序运行完成后，输出FGM楔形梁系统在大范围运动下横向变形与轴向变形随时间变化规律文件“v.txt”及“u.txt”（图5，文件中数据可用于生成曲线来研究FGM楔形梁末端变形随时间变化规律。

权利要求：1.一种中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于包括以下步骤：⑴设定中心刚体-FGM楔形梁系统相关参数：中心刚体转动惯量、楔形梁几何尺寸、FGM梁组成材料组成、功能梯度指数，并给出大范围运动角速度规律；2选用弧长坐标对中心刚体-FGM楔形梁系统进行建模，运用几何关系描述中心刚体_FGM楔形梁系统的变形场，得出梁末端位移表达式；3取中心刚体-FGM楔形梁系统的一段微元进行分析，得出柔性梁系统在大范围转动下的动能和势能表达式；⑷运用假设模态法对每段微元的横向弯曲角、纵向拉伸量及剪切角进行离散，并将动能与势能带入第二类Lagrange方程，并将方程中二次以上项舍去，得到中心刚体-柔性梁系统的刚柔耦合动力学方程；⑸针对中心刚体-FGM楔形梁系统，运用梁高比Rh，梁宽比Rb描述楔形梁几何形状;运用梁悬臂端与自由端材料参数及功能梯度参数描述FGM梁材料组成；⑹根据步骤⑷中动力学方程和步骤⑸给定的参数，得出FGM楔形梁末端横向变形及轴向变形随时间变化规律数据。2.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于:步骤⑴中，大范围运动角速度规律为：式中，ω为转动角速度，ω〇为初始转动角速度，T为大范围转动计算时长。3.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于:步骤⑵中，柔性梁末端位移表达式为：式中，ut为柔性梁末端轴向变形，Vt为柔性梁末端横向变形，as，t为弧长坐标s处横截面的弯曲角度，es，t为弧长坐标s处轴向拉伸量，1为柔性梁长度。4.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于:步骤⑶中，柔性梁系统的动能表达式为：式中，J〇h为中心刚体转动惯量，θ〇为中心刚体角位移，ps为柔性梁沿轴向密度函数，As为柔性梁沿轴向横截面积函数，XQ、yQ为梁轴线上一点处坐标分量，γs，t为弧长坐标s处横截面的剪切角；柔性梁系统的势能表达式为：式中，Es为柔性梁沿轴向弹性模量函数，Gs为柔性梁沿轴向剪切模量函数，k为剪切修正系数。5.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于:步骤⑷中，采用假设模态法对柔性梁的变形进行描述，将倾角、纵向拉伸量、剪切角进行离散处理：其中，Φί8为一端固支一端自由杆试函数行向量，At、Bt、C⑴为与时间相关项列向量;将上式带入第二类Lagrange方程，并舍去部分高阶项，得到非惯性系下中心刚体-柔性梁系统的动力学方程：式中各项分别为：6.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于：步骤⑸中梁高比Rh、梁宽比Rb的取值范围分别为O彡Rh彡I，O彡Rb彡1，材料参数分别需设定梁固定端及自由端材料密度与弹性模量。7.根据权利要求1所述的中心刚体-FGM楔形梁系统末端动力学响应计算方法，其特征在于:步骤6中中心刚体-FGM楔形梁系统需设置的参数分别为:柔性梁长度、悬臂端截面积及惯性矩、梁高比及梁宽比、中心刚体转动惯量、悬臂端及固定端材料密度与弹性模量、功能梯度指数。

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